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2015考研数学考前预测(四)

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发表于 2014-12-26 11:09:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

线性代数
【例1】行列式 =_____________.
【解析】

【例2】 , ,则 .
【解析】 ,
      由  , ,当然有 , ,
      于是 , ,  ,
      所以  
          =
          =
          = .  应填: .
【例3】3阶矩阵 可逆,把矩阵 的第2行与第3行互换得矩阵 ,把矩阵 的第1列的-2倍加到第3列得到单位矩阵 ,则 =____________.
【解析】由题意可得 ,所以 ,
所以 ,而  

【例4】已知 维向量组 线性无关,那么向量组 线性无关的充分必要条件是(    )
A.      B.        C.        D.
【解析】
线性无关只需要 ,因为
故选D.
【例5】已知三维向量组(1) 线性无关,(2) 线性无关.
(I)证明存在非零向量 可由 线性表示,也可由 线性表示;
(II)设 ,求(I)中的 .
【解析】(I)三维向量 , 必线性相关,即存在不全为零的数 ,使得 .
取 ,其中 , 即为所求.
因 线性无关,若 ,则 ,同理 ,这和 不全为零矛盾,故 .
(II)解齐次线性方程组

对方程组的系数矩阵作初等行变化
.
由此得通解 .
则 ,其中 .
【例6】设向量组(I): 及向量组(II):
,试讨论向量组(I)与向量组(II)是否等价.
【解析】因为

当 时, , ,此时向量组(I)与向量组(II)不等价.
当 时,  ,又

所以 ,于是
   ,
此时向量组(I)与向量组(II)等价.
【例7】已知 是 阶方阵, 是属于特征值 的特征向量, 是齐次方程组 的非零解,向量 满足 .
    (I)证明 线性无关;
    (II)求矩阵 所有的特征值和特征向量;
(III)判断 是否和对角矩阵相似,并说明理由.
【解析】(I)设      ①
左乘①,整理得
因为 , 是两个不同特征值的特征向量,所以 , 线性无关,得到
代入①得 ,即 , , 线性无关.
(II)  
令矩阵 ,则 的特征值为1,1,0.
的基础解系为 ,
的基础解系为 .
    ,所以 的特征值为1,1,0.
    属于特征值1的特征向量为 ,其中 .
    属于特征值0的特征向量为 ,其中 .
(III)  不和对角矩阵相似,因为特征值1为二重的,但是属于1的线性无关的特征向量只有一个,所以不可相似对角化.
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