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2015考研数学考前预测(二)

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发表于 2014-12-27 09:38:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
2015考研数学考前预测(二)
【例12】设 具有二阶连续偏导数,且满足 ,(其中 ),已知 ,求 .
【解析】设 为中间变量,

类似,
由题设, ,即
整理得: .因为 ,故 .
【例13】求 在 上的极大值(其中 ).
【解析】设拉格朗日函数 = ,
,解得 .
由实际问题, 的极大值一定存在,为 .
【例14】求二重积分: ,其中 .
【解析】
        =
=   (对称区域,偶倍奇零)
   =  ( 是 的上半部分,即上半个圆)
   =2
   = .
【例15】求幂级数 的收敛域及和函数,并计算 .
【解析】 = = ,
当 ,即 时, 幂级数收敛,且为绝对收敛.
而当 时,级数 与 均发散,故幂级数的收敛域为 .
  .
逐项积分得
  ,
  逐项积分,得
  ,   即有 ,
  ,得 ,
于是  ,
因此  , ,
当 时, .
【例16】将函数 展成 的幂级数,并指出其收敛区间.
【解析】因为   
                 ,
所以
,
故 ,其收敛区间为  .
【例17】已知方程 的通解为 则方程 满
足初始条件 的特解为_____________.
【解析】由方程 的通解为 知,该方程对应的特征方程的根为 其特征方程为 从而 .
   设方程 的特解为 ,带入得  则方程 的通解为 由 得 ,所求特解为
【例18】(1)将方程 化为以 为自变量, 为因变量的微分方程;
    (2)求以 为自变量, 为因变量的微分方程的通解.
【解析】   ,带入原方程得

即  
解得 .
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