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2015考研数学考前预测(三

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发表于 2014-12-27 09:41:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
2015考研数学考前预测(三)
【例19】计算 ,其中 是椭圆 ,方向沿逆时针方向.
【解析】 , ,在任何不包含原点 的区域内均有 ,因此,对任何完全落在 内部且包含原点 的封闭曲线 ( 顺时针),在 和 所夹的区域内应用格林公式,有
      
【例20】计算曲面积分 ,其中S为有向曲面 ,其法向量与z轴正向夹角为锐角.
【解析】以 表示法向量指向z轴负向的有向平面 是 在xoy平面上的投影区域,则
设 表示由S和 所围成的空间区域,则由高斯公式知

因此
【例21】已知 是空间曲线 绕 轴旋转形成的椭球面的上半部分 (取上侧), 是 在点 处的切平面, 是原点到切平面 的距离, 表示 的外法线向量的方向余弦,计算
(I) ;
(II) .
【解析】(I)由题设知, 的方程为 .
在点 处的法向量为 ,于是切平面 的方程为

由此得到



记 在 面上的投影为 ,则 .
所以,
      
     
(其中 是 在第一象限的部分)


.
(II) 在点 处的法向量为 的方向余弦为
, , ,
所以


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